Síntesis de un mecanismo de cuatro eslabones para una silla de descanso usando el método de Newton-Raphson
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Date
2019-08
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Publisher
Universidad Nacional de Trujillo
Abstract
El presente trabajo titulado “Síntesis de un mecanismo de cuatro eslabones para una
silla de descanso usando el método de Newton-Raphson”, se desarrolló utilizando la
ecuación de Freudenstein para obtener las dimensiones óptimas de un mecanismo de
cuatro barras en una silla de descanso, y garantizar la estabilidad en las posiciones
extremas de la silla.
Los ángulos 𝜃1, 𝜃2 y 𝜃4 de los eslabones del mecanismo fueron tomados en base a la
ergonomía de una silla de descanso y teniendo en cuenta la anatomía del cuerpo humano
(espalda, piernas y brazos)
La síntesis del mecanismo fue planteada en la ecuación de Freudenstein para un
mecanismo de cuatro eslabones, a la que se le aplicó el método de los mínimos cuadrados
para minimizar el error en las posiciones deseadas (𝜃2 y 𝜃4) de los eslabones. Se obtiene
un sistema de ecuaciones no lineales aplicando la derivada parcial con respecto a las
constantes k de Freudenstein a la función que define las posiciones del mecanismo. Este
sistema de ecuaciones no lineales se resolvió con el método de Newton Raphson. Las
raíces de este sistema de ecuaciones no lineales (𝑘1, 𝑘2 y 𝑘3) son las longitudes de los
eslabones del mecanismo de cuatro barras. Para usar este método en un sistema de
ecuaciones no lineales se usó las series de Taylor debido a que son las que permiten llegar
a la ecuación iterativa que resolverá el sistema de ecuaciones no lineales. El método de
Newton Raphson se aplicó para 𝜃2 = 110°, 125°, 140°, 155°, 165° ; 𝜃4 =
97°, 116°, 134°, 153°, 165° y 𝜃1 = 10° determinando así los valores de 𝑘1, 𝑘2 y 𝑘3.
Se realizó el código de programación en Matlab del método Newton Raphson. Se tomaron
5 posiciones angulares para 𝜃2 y 𝜃4. Una tolerancia o error de 0.0001, un máximo de
iteraciones de 100(c=100) y partiendo de un vector inicial k0= (1, 1,1) que son valores
iniciales de las constantes k con los cuales se va a iniciar el proceso de iteración. El
programa convergió a las 12 iteraciones dando como resultado las longitudes óptimas del
mecanismo de cuatro eslabones para una silla de descanso (r1=52 cm), (r2=15.3787 cm),
(r3=55.4466 cm), (r4=11.5684 cm).
El perfil seleccionado es una tubería ASTM 513 con un espesor 1.2mm y diámetro de
¾”. Se hizo un análisis de estabilidad para soportar el peso de una persona de 100kg. El
factor de seguridad obtenido es 1.5
Description
The present work entitled "Synthesis of a four-link mechanism for a rest chair using the
Newton-Raphson method", was developed using the Freudenstein equation to obtain the
optimal dimensions of a four-bar mechanism in a rest chair, and ensure stability in the
extreme positions of the chair. The angles 𝜃1, 𝜃2 and 𝜃4 of the links of the mechanism were taken based on the
ergonomics of a resting chair and taking into account the anatomy of the human body
(back, legs and arms) The synthesis of the mechanism was proposed in the Freudenstein equation for a fourlink
mechanism, to which the least-squares method was applied to minimize the error in
the desired positions (𝜃2 and 𝜃4) of the links. A system of non-linear equations is obtained
by applying the partial derivative with respect to the k constants of Freudenstein to the
function that defines the positions of the mechanism. This system of nonlinear equations
was solved with the Newton Raphson method. The roots of this system of non-linear
equations (𝑘1, 𝑘2 and 𝑘3) are the lengths of the links of the four-bar mechanism. To use
this method in a system of nonlinear equations Taylor series were used because they are
what allow us to arrive at the iterative equation that will solve system of nonlinear
equations. The Newton Raphson method was applied at 𝜃2 =
110°, 125°, 140°, 155° , 165° ; 𝜃4 = 97°, 116°, 134°, 153°, 165° and 𝜃1 = 10° to
determine the values of 𝑘1, 𝑘2 y 𝑘3.
The programming code was made in Matlab of the Newton Raphson method. We took 5
angular positions for 𝜃2 and 𝜃4. A tolerance or error of 0.0001, a maximum of iterations
of 100 (c = 100) and starting from an initial vector k0 = (1, 1, 1) that are initial values of
the constants k with which the process is going to start of iteration. The program
converged to the 12 iterations resulting in the optimum lengths of the four-link
mechanism for a rest chair (r1 = 52 cm), (r2 = 15.3787 cm), (r3 = 55.4466 cm), (r4 =
11.5684 cm). The selected profile is an ASTM 513 pipe with a thickness of 1.2mm and a diameter of
¾ ". A stability analysis was made to support the weight of a 100kg person. The safety
factor obtained is 1.5
Keywords
Sintesis de un mecanismo de cuatro eslabones